La realidad nos muestra distintas situaciones incomodas o inesperadas para el hombre que deba ser abordado por la matemática, ya que todo lo que es posible de ser solucionado y descifrado, es ella quien pone las herramientas para su práctica solución.
La presente información muestra situaciones diversas en diversos contextos y cómo la Matemática hace su intervención.
Provisto de los signos: +, -, x, ÷; Patricia se dispone a poner en orden las igualdades del tablero ¡Ayudémosla!
REGLA DE TRES
Supuesto: 5 cuyes S/. 100Pregunta: 12 cuyes S/. X
Supuesto: 6 plantones S/. 18
Supuesto: 8 obreros 15 díasSupuesto: 25 cuyes S/. 112,50
Supuesto: 10 h/d 18 días
Pregunta: 6 h/d X
Supuesto: 25 cuyes S/. 112,50
Supuesto: 10 h/d 18 díasPregunta: 6 h/d X
MATEMÁTICA
UN PROBLEMA DE PROVEIDO:
En el almacén de la Empresa Agroindustrial, se guardan rastrillos en paquetes de 10 cada uno y cada 10 paquetes están empacados en un caja de cartón. Los rastrillos sueltos se colocan en estante que sólo puede contener 9.
Cuando la empresa Agroindustrial recibe un pedido, el encargado del almacén, siempre envía cajas, paquetes y rastrillos y nunca abre cajas o paquetes a menos que sea absolutamente necesario. El 11 de abril el área de producción agrícola ordenó el despacho de 278 rastrillos. Al hacer el inventario (antes del pedido) el encargado notó que en la empresa había 6 cajas y 7 paquetes de rastrillos en el almacén y 4 rastrillos sueltos en el estante del expendio.
a) ¿Cuántas cajas, paquetes y rastrillos sueltos fueron enviados al Departamento de Producción Agrícola de la Empresa?
b) ¿El encargado tuvo que abrir algún paquete para surtir el pedido?
c) ¿Tuvo que abrir una caja?
d) ¿Cuántos rastrillos sueltos quedaron en el estante después del pedido?
e) ¿Cuántos paquetes quedaron en el almacén después del pedido?
f) ¿Cuántas cajas quedaron en el almacén después del pedido?
UN PROBLEMA DE SIGNOS:
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UN PROBLEMA DE EDADES:
Arnaldo tuvo su hijo a los 24 años. ¿Qué edad tendrá su hijo cuando él tenga 63 años?
UN PROBLEMA DE GANANCIA:
Laura compra manzanas a 3 por S/. 2,50 y las vende a 2 por S/. 2,50. Un día ella obtuvo una ganancia de S/. 10. ¿Cuántas manzanas vendió Laura ese día?
UN PROBLEMA DE POSTES:
A lo largo de una vereda de 48 m de largo se colocaron postes de alumbrado, separados 6 m uno del otro. ¿Cuántos postes se colocaron?
UN PROBLEMA DE TRABAJO:
En el tablero se muestran las tarifas del grifo “San Carlos”
COMBUSTIBLE | PRECIO POR GALÓN |
Gasolina de 84 oct. | S/. 11,00 |
Gasolina de 90 oct. | S/. 12,00 |
D2 | S/. 10,50 |
Un trabajador utiliza D2, para conducir su camioneta en la empresa agroindustrial para repartir almuerzo a los trabajadores, y su vehículo consume 2 galones por 30 Km recorridos. Además, el trabajador estima que al día recorre aproximadamente 120 Km. ¿Cuánto de dinero debe solicitar el trabajador para cumplir su labor?
UN PROBLEMA DE AMIGOS:
Alberto, Mariano y Carlos llevan: 8, 9 y 11 manzanas respectivamente, en el la CEFOP y se encuentran con su amiga Katty y comparten todas las manzanas en partes iguales. Si Katty entregó S/. 14 por las manzanas que recibió. ¿Cuánto dinero recibió Mariano?
UN PROBLEMA DE AUTO:
La camioneta de la Empresa Camposol, emplea durante 50 minutos de viaje de Chiclayo a Virú. En los primeros 10 minutos avanza 120 km y a partir de ese momento cada 10 minutos aumenta su recorrido en 5 km más. ¿Cuántos kilómetros recorrió en total?
UN PROBLEMA DE COMPRAS:
Julio compra un bomba de fumigar a plazos cuyo precio al contado es de S/. 500. El vendedor le sugiere que se fracciones el pago en tres cuotas mensuales y le indica que deberá pagar tres cuotas de S/. 185 cada uno. Al llegar las cuentas mensuales a casa. ¿Cuánto debe pagar demás Julio?
UN PROBLEMA DE GANANCIA:
Una persona compra manzanas a 3 por 1 nuevo sol y las vende a 5 por 2,50 nuevos soles. ¿Cuántas manzanas debe vender para ganar 20 nuevos soles?
UN PROBLEMA DE DIETA:
Liliana se pone a dieta, para lo cual se emplea a trabajar en Planta en el pelado de esparrago; el primer mes bajo 900 g; el segundo mes bajo 200 g menos que el mes anterior, el tercer mes subió 250 g y el curto mes subió 300 g más que el mes anterior. ¿Cuántos gramos bajó Liliana al finalizar el cuarto mes de trabajo?
UN PROBLEMA DE CONGELAMIENTO:
Un barco que debe transportar conservas de esparrago, se dispone a congelarlo. En su cámara frigorífica la temperatura desciende 4°C cada 7 minutos. Si al principio la cámara está a 12°C. ¿Cuánto tiempo tardará en alcanzar -16°C?
UN PROBLEMA DE ALCACHOFA:
Un agricultor vende huevos en cajas de 12 unidades en Plaza Vea; de la producción de una semana se tiene 4 gruesas (1 gruesa = 144 unidades), 3 docenas y 8 capítulos. Preguntas:
a. ¿Cuál es este número si le hacen un pedido que debe entregar en cajas de 9 unidades?
b. ¿Cuál sería el número si la entrega en cajas de 81 unidades cada una?
UN PROBLEMA DE COMPUTADORAS:
Por la instalación de una red de ocho computadoras en la Empresa Damper un técnico cobró S/. 3 200.00. Si cada computadora generó un gasto de S/ 180 en material. ¿Cuál fue la ganancia por computadora?; ¿Cuánto ganó en total?
UN PROBLEMA DE ADORNOS:
Se han pagado S/. 1 950 por 130 m de alfombra. ¿Cuántos metros de otra calidad superior se podrían obtener con la misma suma, si 3 metros de la calidad superior valen tanto como 5 de la otra?
UN PROBLEMA DE POZO DE AGUA:
Un pozo que abastece un sistema de riego, cuenta con 35 m de agua de profundidad, debido a la utilización en el riego, desciende 7,7 m. Más tarde llena 11,8 m. ¿Cuántos metros de agua de profundidad cuenta el pozo de agua?
UN PROBLEMA DE LADRILLO:
Un ladrillo ornamental más medio ladrillo valen 90 soles. ¿Cuánto costará 10 ladrillos?
UN PROBLEMA DE PLAGAS:
Una colonia de nematodos duplica su población cada 3 horas: a las 11 de la mañana tiene mil millones de microbios. ¿A qué hora tendría los 500 millones de nematodos?
UN PROBLEMA DE COSECHA:
Una cosecha consta de 120 javas de alcachofa. Por cada java bien cosechado se le abona 4 nuevos soles y por cada java mal seleccionado de sus productos se resta 1 nuevo sol. ¿Cuál es la diferencia entre javas bien cosechadas y mal cosechadas para obtener un ganancia de 20 nuevos soles?
UN PROBLEMA DE RECTÁNGULOS:
En la siguiente figura:
¿Cuántos rectángulos hay?
¡A TRIUNFAR!
REGLA DE TRES
MAGNITUDES PROPORCIONALES:
I. MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES:
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al multiplicar o dividir una de ellas por un número, la otra resulta multiplicada o dividida por el mismo número.
Ejemplos: Son magnitudes directamente proporcionales:
a) El número de objetos y su precio cuando se paga a razón del número:
Así:
§ 1 cuaderno cuesta S/. 6; 3 cuadernos costarán: 3c x 6s = 18 soles. (Esto quiere decir que a más cuadernos más dineros)
§ Si 8 caramelos cuestan S/. 2; 4 caramelos costarán S/. 1. (Esto quiere decir que a menos caramelos menos dinero)
b) El tiempo y las unidades de trabajo realizado:
Así:
§ Si: una cuadrilla de obreros hacen en 3 días 10 metros de una obra, en 6 días harán 20 metros de dicha obra. (Esto quiere decir que a más días harán más metros de obra)
c) El tiempo de trabajo y el salario percibido:
Así:
§ Si un obrero por 5 días de trabajo percibe S/. 80; por 3 días percibirá S/. 48. (Esto quiere decir que a menos días de trabajo recibirá menos salario)
Luego; las magnitudes directamente proporcionales:
ü Si aumenta una de ellas; aumenta la otra.
ü Si disminuye una de ellas; disminuye la otra.
II. MAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES:
Dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al multiplicar una de ellas por un número, la otra resulta dividida y al dividir una de ellas la otra resulta multiplicada por el mismo número.
Ejemplos: Son magnitudes inversamente proporcionales:
d) El número de obreros y el tiempo necesario para hacer una obra:
Así:
§ Si: 7 obreros hacen una obra en 4 días; 14 obreros harían la misma obra en 2 días. (Esto quiere decir que el doble número de obreros necesitará la mitad del tiempo para hacer la obra)
e) Los días del trabajo y las horas diarias que se trabajan:
Así:
§ Si: trabajando 10 horas diarias se necesitan 6 días para hacer una obra, trabajando 5 horas diarias se terminará la obra en 12 días. (Esto quiere decir que a menos horas de trabajo se necesitaría más días para hacer la obra)
f) La velocidad de un automóvil y el tiempo empleado en recorrer una distancia:
Así:
§ Si un automóvil a una velocidad de 50 km/h necesita 8 horas para recorre una distancia, a la velocidad de 100 km/h necesitaría 4 horas para recorrer la misma distancia. (Esto quiere decir que a mayor velocidad necesitaría menos tiempo)
Luego; las magnitudes inversamente proporcionales:
ü Si aumenta una de ellas; disminuye la otra.
ü Si disminuye una de ellas; aumenta la otra.
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REGLA DE TRES
LA REGLA DE TRES:
§ Es una operación matemática que tiene por objeto , dados dos o más pares de cantidades proporcionales siendo un dato desconocido o incógnita, hallar el valor de esta última.
§ La regla de tres puede ser: Simple y Compuesta.
§ Es simple cuando intervienen dos pares de cantidades proporcionales.
§ Es compuesta cuando intervienen tres o más pares de cantidades proporcionales.
A. REGLA DE TRES SIMPLE:
En la regla de tres simple intervienen tres cantidades conocidas o datos y una desconocida o incógnita. Esta regla puede ser: Directa o Inversa, según las cantidades que intervienen sean directa o inversamente proporcionales.
§ Supuesto y Pregunta:
En toda Regla de Tres hay dos filas de términos o números. El supuesto formado por los términos conocidos del problema va generalmente en la parte superior. La pregunta formado por los términos con contienen a la incógnita del problema va en la parte inferior.
Ejemplo: Si: 5 cuyes cuestan S/. 100. ¿Cuánto costarán 12 cuyes?
Supuesto: 5 cuyes S/. 100Pregunta: 12 cuyes S/. X- El supuesto, esta formado por 5 cuyes y S/. 100 de costo; la pregunta por 12 cxuyes y la incógnita por S/. X.
§ Métodos de Resolución:
- Método de Reducción a la Unidad,
- Método de las proporciones, y
- Método práctico.
1. MÉTODO DE REDUCCIÓN A LA UNIDAD:
§ Regla de Tres Simple Directa:
Ejemplo: Si: 6 plantones cuestan S/. 18. ¿Cuánto costarán 10 plantones?
Resolución:
Supuesto: 6 plantones S/. 18Pregunta: 10 plantones X
Razonando:
Si: 6 plantones cuestan S/. 18
1 plantón costará: S/. 18/6 = S/. 3
Luego:
10 plantones costará: 10 x S/. 3 = S/. 30 (Rta)
§ Regla de Tres Simple Inversa:
Ejemplo: Si: 8 obreros terminan una obra en 15 días. ¿En cuántos días terminarán la misma obra 12 obreros?
Resolución:
Supuesto: 8 obreros 15 díasPregunta: 12 obreros X
Razonando:
Si: 8 obreros hacen la obra en 15 días
1 obrero lo hará en: 15 x 8 = 120 días
Luego:
12 obreros harán la obra en: 120 días/12 = 10 días (Rta)
2. MÉTODO DE LAS PROPORCIONES:
§ Regla de Tres Simple Directa:
Ejemplo: Si: 25 cuyes cuestan S/. 112,50. ¿Cuánto se pagará por 14 cuyes?
Resolución:
Supuesto: 25 cuyes S/. 112,50Pregunta: 10 cuyes X
Razonando:
Si: 25 pollos cuestan S/. 112,50 por menos cuyes (14) se pagará menos soles. Estas cantidades proporcionales va de menos a menos (- a -), es decir, son cantidades directamente proporcionales, por consiguiente la Regla de Tres Directa.
Ahora formamos una proporción escribiendo la razón directa de las primeras cantidades (cuyes) igual a la razón directa de las segundas cantidades (soles); Así: 
Luego:
Despejando “X” se obtiene:
∴ X = S/. 63 Rta.
§ Regla de Tres Simple Inversa:
Ejemplo: Si: trabajando 10 horas diarias una cuadrilla de obreros demoran 18 días para terminar una obra de chapodo de espárrago, trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días terminarán la misma obra?
Resolución:
Supuesto: 10 h/d 18 díasPregunta: 6 h/d XRazonando:
Si: trabajando 10 h/d demoran 18 días, trabajando menos horas diarias (6) lo terminan en más días. Vemos que estas cantidades proporcionales van de menos a más (- a +); ósea que son inversamente proporcionales por consiguiente la Regla de Tres es inversa.
Entonces se forma una proporción escribiendo la razón directa de las primeras cantidades (h/d) igual a la razón inversa de las segundas cantidades (días), Así: : 
Luego:
Despejando “X” se obtiene:
∴ X = 30 días Rta.
3. MÉTODO PRÁCTICO:
Regla:
1) Se examina si la Regla de Tres es directa o inversa. Si las cantidades proporcionales van de más a más o de menos a menos, la Regla es Directa; si van de más a menos o de menos a más la Regla es Inversa.
2) Si la Regla de Tres es directa; se multiplican los datos en aspa y se dividen entre el otro dato; este cociente es el valor de la incógnita.
Si la Regla de Tres es inversa; se multiplican los datos del supuesto y se divid entre el otro dato de la pregunta; este cociente es el valor de la incógnita.
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§ Regla de Tres Simple Directa:
Ejemplo: Si: 25 cuyes cuestan S/. 112,50. ¿Cuánto se pagará por 14 cuyes?
Resolución:
Supuesto: 25 cuyes S/. 112,50Pregunta: 10 cuyes X
Razonando:
Si: 3 metros de tela cuesta S/. 120 ¿Cuánto se pagará por 5,5 m de la misma tela?.
Ahora formamos una proporción escribiendo la razón directa de las primeras cantidades (cuyes) igual a la razón directa de las segundas cantidades (soles); Así:
Luego:
Despejando “X” se obtiene:
∴ X = S/. 63 Rta.
§ Regla de Tres Simple Inversa:
Ejemplo: Si: trabajando 10 horas diarias una cuadrilla de obreros demoran 18 días para terminar una obra de chapodo de espárrago, trabajando 6 horas diarias. ¿En cuántos días terminarán la misma obra?
Resolución:
Supuesto: 10 h/d 18 díasPregunta: 6 h/d XRazonando:
Si: trabajando 10 h/d demoran 18 días, trabajando menos horas diarias (6) lo terminan en más días. Vemos que estas cantidades proporcionales van de menos a más (- a +); ósea que son inversamente proporcionales por consiguiente la Regla de Tres es inversa.
Entonces se forma una proporción escribiendo la razón directa de las primeras cantidades (h/d) igual a la razón inversa de las segundas cantidades (días), Así:
Luego:
Despejando “X” se obtiene:
∴ X = 30 días Rta.
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